Calculo Vectorial | 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades

Operaciones de vectores
En esta seccion haremos lo de la anteriror en 1.3 pero ya con numeros.

Suma y Resta
Para hacer una suma vectorial ya con numeros simplemente se suman las componentes en X, Y y Z:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}+{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

De igual manera una resta:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}-\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}-{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}-{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}-{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

Ejemplo
Supongamos que tenemos dos vectores a y b:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{b}=6\widehat{ı}-2\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈4+\mathrm{6,\; 3}+(-2)〉=〈\mathrm{10,\; 1}〉$$

Y esto se ve graficamente asi:



Como se puede ver la respuesta es la misma con numeros o graficamente, da como resultado un vector con 10 unidades en el componente X y 1 unidad en la componente Y.

Lo mismo aplica en 3 dimensiones, nada mas que ahi ya esta un poco mas complicado hacer el dibujito, y generalmente es mas facil trabajarlos con numeros.

Multiplicacion y Division escalar

Para hacer esto con numeros haremos un ejemplo, digamos que tenemos un vector a:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$

$$












Su magnitud entonces es:

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Si lo multiplicamos por 2, nos da:

$$ 2\overrightarrow{a}=2\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=8\widehat{ı}+6\widehat{ȷ}$$

$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$



Si calculamos la magnitud del vector 2a veremos que es exactamente lo doble que la magnitud del vector a, y eso es justo lo que esperabamos:

$$ \left|2\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Y eso mismo pasa al multipilcarlo por 1/2, que viene siendo como dividirlo entre 2, y al mutiplicarlo por un numero negativo:

$$ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=2\widehat{ı}+\frac{3}{2}\widehat{ȷ}$$
$$ \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$
$$ -\overrightarrow{a}=-\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=-4\widehat{ı}-3\widehat{ȷ}$$
$$ \left|-\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{25}=5$$

$$ \mathrm{}$$













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Calculo Vectorial | 1.1 Definicion de un vector en R², R³ y su interpretacion geometrica

$$ Definicion
Un vector se puede definir como algo que tiene una magnitud, direccion y sentido. Se usa el R² para definir un plano, o sea 2 dimensiones, y R³ para definir el espacio, o sea 3 dimensiones. Y aunque con esto es suficiente para la definicion de un vector, puede que se encuentren con otros identificadores que veremos en seguida:

Origen
El punto de partida, o el punto donde se aplica el vector. Generalmente este sera en el origen para un mejor estudio del mismo. Tambien se le conoce como la cola del vector.

Modulo
Esto es la magnitud del vetor, o sea su tamaño (longitud).

Direccion
Como el nombre lo dice, especifica cual es su linea de accion del vector en el espacio.

Sentido
Esto define hacia que lado de la linea de accion se dirige el vector y por convencion se usa una flecha. Tambien se le conoce como la cabeza del vector.

Ahora veamos todo esto en accion para ver como se puede representar esto graficamente.

Como se puede apreciar de la imagen, los nombres de los vectores generalmente son letras y tienen una flechita por encima. Tambien es importante notar que la magnitud de un vector se escribe como mismo vector con la flechita, pero tiene unas barras "| |" rodeandolo, esto quiere decir que es la longitud del vector.

Vectores en 2 dimensiones

Cuando un vector se encuentra en un plano se puede definir en sus partes con respecto a dos dimensiones, o sea en dos ejes, generalmente en X y Y. Veamos una imagen para hacer un analisis.

Como se puede ver aqui, para definir este vector, se mueve una distancia A_x a lo largo del eje X y una distancia A_y a lo largo del eje Y. Este vector se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \overrightarrow{A}=〈A_x,A_y〉$$

De esta forma se define que el vector "A" tiene una componente en X que es A_x antes de la coma y una componente en Y que es A_y despues de la coma. Otra manera de escribir esto es:

$$ \overrightarrow{A}=A_x\widehat{ı}+A_y\widehat{ȷ}$$

Veremos mas de esta notacion mas adelante pero es el mismo concepto que la notacion anterior.

Para sacar la magnitud de este vector, recordemos que es lo mismo que la longitud del mismo, asi que solo tenemos que calcular la longitud. Ya tenemos dos catetos definidos, que son, A_x y A_y y solo nos falta por sacar la hipotenusa que en este caso es la magnitud del vector A. Asi que la formula para sacar la magnitud de un vector en 2 dimensiones es la siguiente:

$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$

Vectores en 3 dimensiones

Para los vectores en el espacio es lo mismo, solo que le aplicamos la tercera dimension. Veamos una imagen para estudiarla:

De igual manera, las notaciones para este vector son:

$$ \overrightarrow{A}=〈A_x,A_y,A_z〉$$
$$ \overrightarrow{A}=A_x\widehat{ı}+A_y\widehat{ȷ}+A_z\widehat{k}$$

Para encontrar la magnitud de un vector en 3 dimensiones veamos que si hacemos el mismo proceso de usar los componentes en X y Y del vector A, como catetos, la hipotenusa (magnitud en este caso) es la magnitud (longitud) del vector B:

$$ \left|\overrightarrow{B}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$

Ya teniendo la magnitud del vector B, esta misma cantidad se puede usar como un cateto junto con la componente en Z del vector A y haciendo eso, la hiponenusa nos da que es la magnitud del vector A, que es exactamente lo que estamos buscando:

En esta imagen se puede ver la parte cortada por el plano amarillo con el eje Z y como la componente en z del vector A junto con la magnitud del vector B son los catetos y la magnitud del vector A es la hipotenusa.

$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{B}\right|}^2+A_z^2}$$

De este procedimiento podemos deducir que la formula para sacar la magnitud de un vector en 3 dimensiones es la siguiente:

$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$$

Se entiende que:

$$ A_1=A_x$$
$$ A_2=A_y$$
$$ A_3=A_z$$

Asi que cualquiera de las ecuaciones de los vectores ya sea en 2 o 3 dimensiones se pueden intercambiar. Esto es solo para informar acerca de la notacion. Unos ejemplos son:

$$ \overrightarrow{A}=〈A_x,A_y,A_z〉=〈A_1,A_2,A_3〉$$
$$ \overrightarrow{A}=A_x\widehat{ı}+A_y\widehat{ȷ}+A_z\widehat{k}=A_1\widehat{ı}+A_2\widehat{ȷ}+A_3\widehat{k}$$
$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2}$$

Y asi sucesivamente en cualquier ecuacion donde vayan los componentes de un vector.

Vectores unitarios

Otros vectores importantes son los vectores unitarios, y se llaman asi porque son vectores que tienen su magnitud igual a 1. Un vector unitario se escribe igual que un vector normal con la diferencia que en vez de una flechita arriba del nombre, lleva una gorrita. Por ejemplo:

$$ \widehat{ı}, \widehat{ȷ}, \widehat{k}$$

En especial hay tres vectores unitarios que se usan frecuentemente en las matematicas y fisica. Y esos son precisamente los tres vectores unitarios de arriba, "i", "j" y "k". El vector unitario "i" va en la direccion del eje X positivo, el vector unitario "j" va en la direccion del eje Y positivo y el vector unitario "k" va en la direccion del eje Z positivo. Para ver esto graficamente en 2 dimensiones, veamos la imagen abajo:

Aqui estamos viendo que el vector unitario "i" va en la direccion del eje X y tiene su magnitud de 1. Igual con el vector unitario "j" que va en la direccion del eje Y y tiene su magnitud de 1.

El mismo concepto se aplica en 3 dimensiones, como se ve en la imagen de abajo.

Los vectores unitarios se pueden escribir de la siguiente manera:

$$ \widehat{ı}=〈\mathrm{1,0},0〉=1\widehat{ı}+0\widehat{ȷ}+0\widehat{k}$$
$$ \widehat{ȷ}=〈\mathrm{0,1},0〉=0\widehat{ı}+1\widehat{ȷ}+0\widehat{k}$$
$$ \widehat{k}=〈\mathrm{0,0},1〉=0\widehat{ı}+0\widehat{ȷ}+1\widehat{k}$$

Y como se puede ver de estos vectores unitarios, sus magnitudes son la unidad.

$$ \left|\widehat{\mathit{ı}}\right|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$$
$$ \left|\widehat{\mathit{ȷ}}\right|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1$$
$$ \left|\widehat{\mathit{k}}\right|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$$
$$ \mathrm{}$$
$$ \mathrm{}$$
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