Calculo Vectorial | 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades

Operaciones de vectores
En esta seccion haremos lo de la anteriror en 1.3 pero ya con numeros.

Suma y Resta
Para hacer una suma vectorial ya con numeros simplemente se suman las componentes en X, Y y Z:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}+{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

De igual manera una resta:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}-\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}-{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}-{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}-{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

Ejemplo
Supongamos que tenemos dos vectores a y b:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{b}=6\widehat{ı}-2\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈4+\mathrm{6,\; 3}+(-2)〉=〈\mathrm{10,\; 1}〉$$

Y esto se ve graficamente asi:



Como se puede ver la respuesta es la misma con numeros o graficamente, da como resultado un vector con 10 unidades en el componente X y 1 unidad en la componente Y.

Lo mismo aplica en 3 dimensiones, nada mas que ahi ya esta un poco mas complicado hacer el dibujito, y generalmente es mas facil trabajarlos con numeros.

Multiplicacion y Division escalar

Para hacer esto con numeros haremos un ejemplo, digamos que tenemos un vector a:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$

$$












Su magnitud entonces es:

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Si lo multiplicamos por 2, nos da:

$$ 2\overrightarrow{a}=2\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=8\widehat{ı}+6\widehat{ȷ}$$

$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$



Si calculamos la magnitud del vector 2a veremos que es exactamente lo doble que la magnitud del vector a, y eso es justo lo que esperabamos:

$$ \left|2\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Y eso mismo pasa al multipilcarlo por 1/2, que viene siendo como dividirlo entre 2, y al mutiplicarlo por un numero negativo:

$$ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=2\widehat{ı}+\frac{3}{2}\widehat{ȷ}$$
$$ \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$
$$ -\overrightarrow{a}=-\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=-4\widehat{ı}-3\widehat{ȷ}$$
$$ \left|-\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{25}=5$$

$$ \mathrm{}$$













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Hola a todos y bienvenidos a este blog. Soy estudiante de Ingenieria Electromecanica en el Instituto Tecnologico Nacional sede Lazaro Cardenas y estare poniendo en este blog las materias de matematicas y otras ciencias que voy llevando o he llevado. La idea es ayudar a todo aquel que no entienda las materias o simplemente quiera una perspectiva diferente. Para cada materia tendre una pagina especial (en la barra de arriba al lado de la pestaña de "Home"), como se puede ver en la imagen de abajo.

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