Calculo Vectorial | 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades

Operaciones de vectores
En esta seccion haremos lo de la anteriror en 1.3 pero ya con numeros.

Suma y Resta
Para hacer una suma vectorial ya con numeros simplemente se suman las componentes en X, Y y Z:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}+{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

De igual manera una resta:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}-\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}-{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}-{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}-{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

Ejemplo
Supongamos que tenemos dos vectores a y b:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{b}=6\widehat{ı}-2\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈4+\mathrm{6,\; 3}+(-2)〉=〈\mathrm{10,\; 1}〉$$

Y esto se ve graficamente asi:



Como se puede ver la respuesta es la misma con numeros o graficamente, da como resultado un vector con 10 unidades en el componente X y 1 unidad en la componente Y.

Lo mismo aplica en 3 dimensiones, nada mas que ahi ya esta un poco mas complicado hacer el dibujito, y generalmente es mas facil trabajarlos con numeros.

Multiplicacion y Division escalar

Para hacer esto con numeros haremos un ejemplo, digamos que tenemos un vector a:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$

$$












Su magnitud entonces es:

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Si lo multiplicamos por 2, nos da:

$$ 2\overrightarrow{a}=2\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=8\widehat{ı}+6\widehat{ȷ}$$

$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$



Si calculamos la magnitud del vector 2a veremos que es exactamente lo doble que la magnitud del vector a, y eso es justo lo que esperabamos:

$$ \left|2\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Y eso mismo pasa al multipilcarlo por 1/2, que viene siendo como dividirlo entre 2, y al mutiplicarlo por un numero negativo:

$$ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=2\widehat{ı}+\frac{3}{2}\widehat{ȷ}$$
$$ \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$
$$ -\overrightarrow{a}=-\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=-4\widehat{ı}-3\widehat{ȷ}$$
$$ \left|-\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{25}=5$$

$$ \mathrm{}$$













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