Calculo Vectorial | 1.3 La geometria de las operaciones vectoriales

Geometria de Operaciones vectoriales

Las operaciones que se pueden hacer con los vectores son: suma, resta, mutiplicacion y division escalar y el producto escalar y vectorial. La suma y la resta son operaciones que toman vectores y dan como un resultado otro vector. La multiplicacion y division con escalares, toman un escalar y un vector y dan como resultado un vector. El producto escalar toma dos vectores y da un escalar. El producto vectorial toma 2 vectores y da otro vector. Usaremos los siguientes vectores "a" y "b" para explicar la geometria de las operaciones.

Suma y Resta

Para hacer una suma o resta existen 2 metodos: el del paralelogramo y el del triangulo. 

Metodo del Paralelogramo

Para el metodo del paralelogramo se juntan las 2 colas de los vecotores y se completa el paralelogramo proyectando los vectores originales paralelos a ellos mismos. Despues forma un nuevo vector de donde se juntan las colas de los vectores originales hasta donde se juntan las cabezas de sus proyecciones.

Usando la imagen de arriba, los vectores para sumar son el "a" (rojo) y el "b" (azul). Asi que se juntan sus colas y se proyectan paralelamente para formar los otros 2 vectores negros con lineas punteadas. Se hace el nuevo vector resultante "c" de las colas de los vectores originales a las cabezas de las proyecciones.

Metodo del Triangulo
El otro metodo es el del triangulo. Este es el metodo que generlamente uso ya que la mayoria de las veces es mas rapido y facil de ver que esta pasando, y cuando se suman mas de 2 vectores a la vez es mas eficiente. Para hacerlo de este modo se toma cualquiera de los 2 vectores y la cola del segundo vector se acomoda en la cabeza del primer vector. No importa el orden ya que dan el mismo resultado.

Como se puede ver en las imagenes, no importa si primero empezamos con el vector "a" o el "b" el vector "c" sigue siendo el mismo, con la misma direccion, sentido y magnitud.

En forma escrita la suma de dos vectores se ve algo asi:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=\overrightarrow{\mathit{c}}$$

Para la resta se hace lo mismo que la suma excepto que el vector que esta siendo restado se invierte, de tal manera que la cabeza apunte donde antes era la cola. Asi que si tenemos esto:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}-\overrightarrow{\mathit{b}}=\overrightarrow{\mathit{c}}$$

Se puede ver asi graficamente:

Multiplicacion y Division escalar
La multiplicacion y division escalar son cuando un vector se multiplica por un escalar. Si un vector es multiplicado por 2 lo que pasa es que la magnitud de ese vector se hace 2 veces tan grande como era antes. Si se multiplica por 1/2, es como si fuera dividido entre 2, y su magnitud se hace la mitad de lo que era originalmente. Si se multiplica por un numero negativo, se invierte el sentido y su magnitud es aumentada o disminuida dependiendo del numero. Para ver esto graficamente, analizemos la siguiente imagen.

Aqui el vector original es "a" y se ve como su magnitud (longitud) es aumentada o disminuida, dependiendo que se le multiplica. Tambien vemos como su sentido se invierte cuando se multiplica por un -1 y un -2, la diferencia siendo que con el factor de -2 aparte de invertirse, su magnitud es la doble.


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