Calculo Vectorial | 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades

Operaciones de vectores
En esta seccion haremos lo de la anteriror en 1.3 pero ya con numeros.

Suma y Resta
Para hacer una suma vectorial ya con numeros simplemente se suman las componentes en X, Y y Z:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}+{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

De igual manera una resta:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}-\overrightarrow{\mathit{b}}=〈{\mathit{a}}_{\mathit{x}}-{\mathit{b}}_{\mathit{x}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{y}}-{\mathit{b}}_{\mathit{y}},\mathit{ }{\mathit{a}}_{\mathit{z}}-{\mathit{b}}_{\mathit{z}}〉$$

Ejemplo
Supongamos que tenemos dos vectores a y b:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{b}=6\widehat{ı}-2\widehat{ȷ}$$
$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=〈4+\mathrm{6,\; 3}+(-2)〉=〈\mathrm{10,\; 1}〉$$

Y esto se ve graficamente asi:



Como se puede ver la respuesta es la misma con numeros o graficamente, da como resultado un vector con 10 unidades en el componente X y 1 unidad en la componente Y.

Lo mismo aplica en 3 dimensiones, nada mas que ahi ya esta un poco mas complicado hacer el dibujito, y generalmente es mas facil trabajarlos con numeros.

Multiplicacion y Division escalar

Para hacer esto con numeros haremos un ejemplo, digamos que tenemos un vector a:

$$ \overrightarrow{a}=4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}$$

$$












Su magnitud entonces es:

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Si lo multiplicamos por 2, nos da:

$$ 2\overrightarrow{a}=2\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=8\widehat{ı}+6\widehat{ȷ}$$

$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$
$$ \stackrel{}{}$$



Si calculamos la magnitud del vector 2a veremos que es exactamente lo doble que la magnitud del vector a, y eso es justo lo que esperabamos:

$$ \left|2\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Y eso mismo pasa al multipilcarlo por 1/2, que viene siendo como dividirlo entre 2, y al mutiplicarlo por un numero negativo:

$$ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=2\widehat{ı}+\frac{3}{2}\widehat{ȷ}$$
$$ \left|\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$$
$$ -\overrightarrow{a}=-\left(4\widehat{ı}+3\widehat{ȷ}\right)=-4\widehat{ı}-3\widehat{ȷ}$$
$$ \left|-\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{25}=5$$

$$ \mathrm{}$$













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Calculo Vectorial | 1.3 La geometria de las operaciones vectoriales

Geometria de Operaciones vectoriales

Las operaciones que se pueden hacer con los vectores son: suma, resta, mutiplicacion y division escalar y el producto escalar y vectorial. La suma y la resta son operaciones que toman vectores y dan como un resultado otro vector. La multiplicacion y division con escalares, toman un escalar y un vector y dan como resultado un vector. El producto escalar toma dos vectores y da un escalar. El producto vectorial toma 2 vectores y da otro vector. Usaremos los siguientes vectores "a" y "b" para explicar la geometria de las operaciones.

Suma y Resta

Para hacer una suma o resta existen 2 metodos: el del paralelogramo y el del triangulo. 

Metodo del Paralelogramo

Para el metodo del paralelogramo se juntan las 2 colas de los vecotores y se completa el paralelogramo proyectando los vectores originales paralelos a ellos mismos. Despues forma un nuevo vector de donde se juntan las colas de los vectores originales hasta donde se juntan las cabezas de sus proyecciones.

Usando la imagen de arriba, los vectores para sumar son el "a" (rojo) y el "b" (azul). Asi que se juntan sus colas y se proyectan paralelamente para formar los otros 2 vectores negros con lineas punteadas. Se hace el nuevo vector resultante "c" de las colas de los vectores originales a las cabezas de las proyecciones.

Metodo del Triangulo
El otro metodo es el del triangulo. Este es el metodo que generlamente uso ya que la mayoria de las veces es mas rapido y facil de ver que esta pasando, y cuando se suman mas de 2 vectores a la vez es mas eficiente. Para hacerlo de este modo se toma cualquiera de los 2 vectores y la cola del segundo vector se acomoda en la cabeza del primer vector. No importa el orden ya que dan el mismo resultado.

Como se puede ver en las imagenes, no importa si primero empezamos con el vector "a" o el "b" el vector "c" sigue siendo el mismo, con la misma direccion, sentido y magnitud.

En forma escrita la suma de dos vectores se ve algo asi:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}+\overrightarrow{\mathit{b}}=\overrightarrow{\mathit{c}}$$

Para la resta se hace lo mismo que la suma excepto que el vector que esta siendo restado se invierte, de tal manera que la cabeza apunte donde antes era la cola. Asi que si tenemos esto:

$$ \overrightarrow{\mathit{a}}-\overrightarrow{\mathit{b}}=\overrightarrow{\mathit{c}}$$

Se puede ver asi graficamente:

Multiplicacion y Division escalar
La multiplicacion y division escalar son cuando un vector se multiplica por un escalar. Si un vector es multiplicado por 2 lo que pasa es que la magnitud de ese vector se hace 2 veces tan grande como era antes. Si se multiplica por 1/2, es como si fuera dividido entre 2, y su magnitud se hace la mitad de lo que era originalmente. Si se multiplica por un numero negativo, se invierte el sentido y su magnitud es aumentada o disminuida dependiendo del numero. Para ver esto graficamente, analizemos la siguiente imagen.

Aqui el vector original es "a" y se ve como su magnitud (longitud) es aumentada o disminuida, dependiendo que se le multiplica. Tambien vemos como su sentido se invierte cuando se multiplica por un -1 y un -2, la diferencia siendo que con el factor de -2 aparte de invertirse, su magnitud es la doble.


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Calculo Vectorial | 1.2 Introduccion a los campos escalares y vectoriales

En si para esta seccion del programa no le veo mucha substancia, asi que sera corto.

Escalar
Los escalares solo son magnitudes que consisten de un numero, no tienen direccion. Por ejemplo todos los numeros son escalares junto con medidas que se hacen de masa, peso (sin la direccion en la que actua), rapidez (no velocidad), longitud, volumen, tiempo, etc.

Campo Escalar
En una region en el espacio donde cada punto es asignado un valor escalar. Por ejemplo:

En esta region en el espacio, cada punto (x, y, z) tiene un escalar asignado.

Campo Vectorial

Es una region en el espacio tambien pero en este caso en cada punto (x, y, z) lo que se le asigna es un vector en vez de un escalar. Por ejemplo:

En esta region del espacion un vector es asignado en cada punto.


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Calculo Vectorial | 1.1 Definicion de un vector en R², R³ y su interpretacion geometrica

$$ Definicion
Un vector se puede definir como algo que tiene una magnitud, direccion y sentido. Se usa el R² para definir un plano, o sea 2 dimensiones, y R³ para definir el espacio, o sea 3 dimensiones. Y aunque con esto es suficiente para la definicion de un vector, puede que se encuentren con otros identificadores que veremos en seguida:

Origen
El punto de partida, o el punto donde se aplica el vector. Generalmente este sera en el origen para un mejor estudio del mismo. Tambien se le conoce como la cola del vector.

Modulo
Esto es la magnitud del vetor, o sea su tamaño (longitud).

Direccion
Como el nombre lo dice, especifica cual es su linea de accion del vector en el espacio.

Sentido
Esto define hacia que lado de la linea de accion se dirige el vector y por convencion se usa una flecha. Tambien se le conoce como la cabeza del vector.

Ahora veamos todo esto en accion para ver como se puede representar esto graficamente.

Como se puede apreciar de la imagen, los nombres de los vectores generalmente son letras y tienen una flechita por encima. Tambien es importante notar que la magnitud de un vector se escribe como mismo vector con la flechita, pero tiene unas barras "| |" rodeandolo, esto quiere decir que es la longitud del vector.

Vectores en 2 dimensiones

Cuando un vector se encuentra en un plano se puede definir en sus partes con respecto a dos dimensiones, o sea en dos ejes, generalmente en X y Y. Veamos una imagen para hacer un analisis.

Como se puede ver aqui, para definir este vector, se mueve una distancia A_x a lo largo del eje X y una distancia A_y a lo largo del eje Y. Este vector se puede escribir de la siguiente manera:

$$ \overrightarrow{A}=〈A_x,A_y〉$$

De esta forma se define que el vector "A" tiene una componente en X que es A_x antes de la coma y una componente en Y que es A_y despues de la coma. Otra manera de escribir esto es:

$$ \overrightarrow{A}=A_x\widehat{ı}+A_y\widehat{ȷ}$$

Veremos mas de esta notacion mas adelante pero es el mismo concepto que la notacion anterior.

Para sacar la magnitud de este vector, recordemos que es lo mismo que la longitud del mismo, asi que solo tenemos que calcular la longitud. Ya tenemos dos catetos definidos, que son, A_x y A_y y solo nos falta por sacar la hipotenusa que en este caso es la magnitud del vector A. Asi que la formula para sacar la magnitud de un vector en 2 dimensiones es la siguiente:

$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$

Vectores en 3 dimensiones

Para los vectores en el espacio es lo mismo, solo que le aplicamos la tercera dimension. Veamos una imagen para estudiarla:

De igual manera, las notaciones para este vector son:

$$ \overrightarrow{A}=〈A_x,A_y,A_z〉$$
$$ \overrightarrow{A}=A_x\widehat{ı}+A_y\widehat{ȷ}+A_z\widehat{k}$$

Para encontrar la magnitud de un vector en 3 dimensiones veamos que si hacemos el mismo proceso de usar los componentes en X y Y del vector A, como catetos, la hipotenusa (magnitud en este caso) es la magnitud (longitud) del vector B:

$$ \left|\overrightarrow{B}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$

Ya teniendo la magnitud del vector B, esta misma cantidad se puede usar como un cateto junto con la componente en Z del vector A y haciendo eso, la hiponenusa nos da que es la magnitud del vector A, que es exactamente lo que estamos buscando:

En esta imagen se puede ver la parte cortada por el plano amarillo con el eje Z y como la componente en z del vector A junto con la magnitud del vector B son los catetos y la magnitud del vector A es la hipotenusa.

$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{B}\right|}^2+A_z^2}$$

De este procedimiento podemos deducir que la formula para sacar la magnitud de un vector en 3 dimensiones es la siguiente:

$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$$

Se entiende que:

$$ A_1=A_x$$
$$ A_2=A_y$$
$$ A_3=A_z$$

Asi que cualquiera de las ecuaciones de los vectores ya sea en 2 o 3 dimensiones se pueden intercambiar. Esto es solo para informar acerca de la notacion. Unos ejemplos son:

$$ \overrightarrow{A}=〈A_x,A_y,A_z〉=〈A_1,A_2,A_3〉$$
$$ \overrightarrow{A}=A_x\widehat{ı}+A_y\widehat{ȷ}+A_z\widehat{k}=A_1\widehat{ı}+A_2\widehat{ȷ}+A_3\widehat{k}$$
$$ \left|\overrightarrow{A}\right|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2}$$

Y asi sucesivamente en cualquier ecuacion donde vayan los componentes de un vector.

Vectores unitarios

Otros vectores importantes son los vectores unitarios, y se llaman asi porque son vectores que tienen su magnitud igual a 1. Un vector unitario se escribe igual que un vector normal con la diferencia que en vez de una flechita arriba del nombre, lleva una gorrita. Por ejemplo:

$$ \widehat{ı}, \widehat{ȷ}, \widehat{k}$$

En especial hay tres vectores unitarios que se usan frecuentemente en las matematicas y fisica. Y esos son precisamente los tres vectores unitarios de arriba, "i", "j" y "k". El vector unitario "i" va en la direccion del eje X positivo, el vector unitario "j" va en la direccion del eje Y positivo y el vector unitario "k" va en la direccion del eje Z positivo. Para ver esto graficamente en 2 dimensiones, veamos la imagen abajo:

Aqui estamos viendo que el vector unitario "i" va en la direccion del eje X y tiene su magnitud de 1. Igual con el vector unitario "j" que va en la direccion del eje Y y tiene su magnitud de 1.

El mismo concepto se aplica en 3 dimensiones, como se ve en la imagen de abajo.

Los vectores unitarios se pueden escribir de la siguiente manera:

$$ \widehat{ı}=〈\mathrm{1,0},0〉=1\widehat{ı}+0\widehat{ȷ}+0\widehat{k}$$
$$ \widehat{ȷ}=〈\mathrm{0,1},0〉=0\widehat{ı}+1\widehat{ȷ}+0\widehat{k}$$
$$ \widehat{k}=〈\mathrm{0,0},1〉=0\widehat{ı}+0\widehat{ȷ}+1\widehat{k}$$

Y como se puede ver de estos vectores unitarios, sus magnitudes son la unidad.

$$ \left|\widehat{\mathit{ı}}\right|=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$$
$$ \left|\widehat{\mathit{ȷ}}\right|=\sqrt{0^2+1^2+0^2}=1$$
$$ \left|\widehat{\mathit{k}}\right|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$$
$$ \mathrm{}$$
$$ \mathrm{}$$
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Bienvenidos

Hola a todos y bienvenidos a este blog. Soy estudiante de Ingenieria Electromecanica en el Instituto Tecnologico Nacional sede Lazaro Cardenas y estare poniendo en este blog las materias de matematicas y otras ciencias que voy llevando o he llevado. La idea es ayudar a todo aquel que no entienda las materias o simplemente quiera una perspectiva diferente. Para cada materia tendre una pagina especial (en la barra de arriba al lado de la pestaña de "Home"), como se puede ver en la imagen de abajo.

Conforme vaya haciendo el material para cada materia ire poniendo su correspondiente pagina para sus respectivos enlaces al programa. Bueno espero tengan una feliz navegacion y encuentren todo entendible. Acepto sugerencias asi que no tengan miedo de hablar.